Электронный учебно-методический комплекс по учебному предмету
Главная»Раздел 1. Постоянный электрический ток»Основные законы электрических цепей постоянного тока
1.3. Основные законы электрических цепей постоянного тока
Основой для расчёта режима работы любой электрической цепи являются законы Ома и Кирхгофа. С их помощью, зная параметры элементов электрической цепи можно определить протекающие в ней токи и действующие напряжения. Можно также решить обратную задачу
связи между определения параметров цепи, обеспечивающих требуемые токи и напряжения.
Закон Ома. Немецкий физик Георг Ом в 1826 г. Провёл ряд опытов по установлению силой тока, напряжением и сопротивлением проводника. К проводнику постоянного сопротивления он подключал различные электрические напряжения (U) и измерял силу тока (I). Оказалось, что сила тока при постоянном сопротивлении прямо пропорциональна напряжению I~U. Затем он брал проводник разных сопротивлений (R) и подключал к источнику тока с постоянным напряжением (U). Оказалось, что сила тока в цепи обратно пропорциональна сопротивлению проводника Обобщив свои опыты, он получил закон, который назван его именем – закон Ома:
т.е. сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению на концах проводник и обратно пропорциональна сопротивлению проводника. Из формулы основного закона Ома можно получить формулы для определения напряжения на участке цепи с сопротивлением R, измерив ток на этом участке цепи,
U =RI (1.8)
а также определить сопротивление участка цепи, измерив напряжение (U) на этом участке цепи и силу тока в нем (I),
Это – формулы для расчета электрической цепи, но неправильно будет говорить, что сопротивление прямо пропорционально силе тока. Из формулы (1.2) можно записать закон Ома для полной цепи:
где R – сопротивление внешнего участка цепи, а Rвн – сопротивление внутреннего участка цепи (сопротивление внутри источника ЭДС).
Правила Кирхгофа
Первое правило Кирхгофа. Кирхгоф, изучая электрические цепи различной сложности и конфигурации, установил два правила для расчета электрических цепей. В основу первого правила следует: сколько электрических зарядов протекает в узел электрической цепи столько и вытекает, или сумма токов, входящих в узел электрической цепи, равна сумме токов, выходящих из него. Из рис. 1.4 можно записать:
Рисунок 1.4
Положительное направление токов в ветвях цепи должно соответствовать направлению действия сторонних сил источника ЭДС. Первое правило Кирхгофа относится к узлам электрических цепей различной сложности и формулируются так: алгебраическая сумма всех токов в узле электрической цепи равна нулю.
В основу второго правила Кирхгофа положен закон сохранения энергии. Второе правило Кирхгофа относится к контурам электрической цепи и гласит: в любом замкнутом электрическом контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падения напряжения на элементах контура. Для контура АВСДА электрической цепи (рис. 1.4) будем иметь:
За положительное направление обхода контура принято направление ЭДС одного источника (E1). При этом E2 и ток I2 будут иметь отрицательные знаки.
Последовательное, параллельное и смешанное соединение сопротивлений. Все приёмники электрической энергии обладают сопротивлением, поэтому для изучения особенностей электрических цепей при различных соединениях приемников будем рассматривать последовательное, параллельное и смешанное соединение сопротивлений.
Последовательное соединение сопротивлений. Последовательным соединением сопротивлений называется такое соединение, при котором в каждом из них протекает один и тот же ток (рис. 1.5).
Рисунок 1.5
Первая закономерность. При последовательном соединении сопротивлений одна и та же сила тока на всех участках цепи. В этом легко убедиться, если включить амперметр в различных участках цепи. Амперметр покажет одну силу тока во всех участках цепи. Аналогия электрическому току в цепи является поток воды в водопроводной трубе или поток воды в реке.
Вторая закономерность. При последовательном соединении сопротивлений напряжение цепи равно сумме напряжений на отдельных участках цепи. Для данной цепи (рис. 1.5) будем иметь
U = U1 + U2 (1.13)
В этом можно убедиться, измеряя вольтметром напряжения всей цепи и на отдельных участках цепи. Так как U1 = IR1, U2 = IR2, то можно сделать вывод: при последовательном соединении сопротивлений напряжение в цепи распределяется пропорционально значениям сопротивлений. Поэтому провода, подводящие ток к электрическим лампам, не нагревается, а спираль лампы накаливается до свечения.
Третья закономерность. Сопротивление цепи при последовательном соединении сопротивлений равно сумме сопротивлений элементов цепи:
R = R1 + R2 (1.14)
Из равенства (1.13) можно записать
IR = IR1 + IR2
А так как ток одинаков во всех участках цепи, то R = R1 + R2.
Если в цепи последовательно соединены не два, а n одинаковых сопротивлений R0, то сопротивление цепи равно
R = nR0 (1.15)
Последовательно с электроприемником электрической энергии соединяются: включатель, ключ, рубильник, пакетный выключатель, плавкий предохранитель, реле максимального тока, амперметр. Одни из них подключают и отключают приемники от источника тока, т.е. соединяют или разрывают цепь тока; другие (плавкий предохранитель и реле максимального тока) разрывают цепь при увеличении тока больше установленного или включают звуковую или световую сигнализацию. Амперметры служат для измерения силы тока.
Параллельное соединение сопротивлений. Подключение нескольких сопротивлений к одним и тем же двум точкам электрической цепи называется параллельным соединением сопротивлений (рис. 1.6).Подключенные сопротивления имеют две (А и В) общие точки цепи, называемыми узлами.
Рисунок 1.6
Первая закономерность. При параллельном соединении сопротивлений ко всем ветвям приложено одно и то же напряжение.
Вторая закономерность. На основании первого правила Кирхгофа для узла (А) можно записать
I = I1 + I2 + I3 (1.16)
Ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов ветвей.
Из формулы (1.7), применив закон Ома получим:
т.е. токи в ветвях распределяются обратно пропорционально сопротивлениям ветвей.
Третья закономерность. Поделив правую и левую части равенства (1.17) на напряжение (U), получим:
где g-проводимость. Проводимость - это физическая величина, обратная сопротивлению, т.е.
Следовательно, при параллельном соединении проводимость параллельного соединения равна сумме проводимостей ее ветвей. Если сопротивление n ветвей одинаковое, то можно записать
где g0 –проводимость одной ветви. Из этого равенства видно, что
видно, что при увеличении сопротивления проводника его проводимость уменьшается.
При параллельном соединении приемников отключение одного приемника не влияет на работу других приемников, так как напряжение и сопротивление приемников (ветвей) не меняется. Приемниками электрической энергии являются электрические двигатели, различные аппараты и бытовые электроприборы и электрические лампы .Все они различной мощности, изготавливаются на стандартные напряжения электрической сети (380 В, 220 В). Для ряда приборов и аппаратов стандартными напряжениями являются (36 В, 24 В, 12 В и 6 В).
Смешанное соединение сопротивлений. При смешанном соединении сопротивлений (рис.1.7) цепь состоит из участков последовательного соединения и участков параллельного соединения. Такая цепь может иметь различное число узлов и ветвей.
т.е. сопротивление разветвленного участка цепи в n раз меньше сопротивления одной ветви. Следует обратить внимание, что при последовательном соединении сопротивлений цепи равно сумме сопротивлений. Это вполне логично, ибо увеличивается длина пути для прохождения заряда. При параллельном соединении сопротивлений общая проводимость равна сумме проводимостей его ветвей. Это значит, что при подключении параллельно новой ветви увеличивается площадь поперечно сечения проводников, уменьшается сопротивление электрическому току, увеличивается проводимость цепи. Единицей измерения проводимости является один сименс (1См).
Проводник сопротивлением один Ом имеет проводимость 1 См. Из формулы проводимости
Рисунок 1.7
Расчет сложных электрических цепей постоянного тока
Электрическая цепь, имеющая два или более активных элементов (источников ЭДС), со смешанным соединением сопротивлений называется сложной цепью. Рассчитать цепь – это значит определить токи во всех участках цепи при данных значениях ЭДС и сопротивлений. Для расчета сложных электрических цепей с помощью первого и второго правила Кирхгофа применяется два метода: метод контурных токов и метод узлового напряжения.
Метод контурных токов. Для расчета цепей методом непосредственного применения первого и второго правила Кирхгофа нужно составить столько независимых уравнений, сколько нужно определить токов. Метод контурных токов дает возможность определить токи с меньшим числом уравнений. В основу метода контурных токов положено введение понятий контурных токов. Под понятием контурный ток понимают узловой ток, замыкающийся в одном контуре.
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 1.8). При расчете сложных цепей методом контурных токов:
Рисунок 1.8
-
Определяется число узлов в схеме и число ветвей, т.е. число определяемых токов. В данной схеме имеется два узла (А, В) и три тока в ветвях ( I1, I2, I3).
-
Определяются независимые контуры цепи. Независимым контуром называется контур, имеющий хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры цепи. В данной схеме выбираем два независимых контура (AE1R1BR2E2 и AE2R2BR3). Третий контур (AE1R1BR3) является следствием двух первых.
-
Обозначается положительное направление токов в ветвях. В схеме источники ЭДС обозначаются буквами E1 и E2 с указанием их положительного направления и положительного направления тока в ветвях.
В схеме цепи выделены два независимых контура с контурными токами II и III. Направление обхода контура может быть принято произвольно: по часовой или против часовой стрелки. Если направление ЭДС и направление тока совпадают с принятым направлением обхода контура, то их значение в уравнении пишутся со знаком “плюс”, в противоположном случае они учитываются со знаком “минус”. В схеме (рис. 1.8) обход контура принят по часовой стрелке. Сопоставляя контурные токи с токами в ветвях, замечаем, что контурные токи совпадают с токами во внешних ветвях цепи (II = II, III = I3). В ветвях, входящих в два смежных контура, действительный ток находится алгебраическим суммированием контурных токов этих контуров (I2 = II - III). Если окажется, что ток в ветви с источником ЭДС будет иметь отрицательный знак, то это указывает на то, что источник ЭДС оказался приемником электроэнергии. Составим уравнения по второму правилу Кирхгофа для цепи, схема которой дана на рис. 1.8.
E2 = III(R2 + R3) - IIR2 (1.19)
Задача. Рассчитаем электрическую цепь, схема которой дана на рис. 1.8, т.е. определяем ток в ветвях цепи (I1, I2, I3) при данных значениях параметров цепи. Пусть E1 = 60B, E2 = 40B, R1 = 20 Ом и R3 = 80 Ом.
Решение
1. Определим контурные токи II и III по уравнениям второго правила Кирхгофа (1.12). Поставив в них значения ЭДС и сопротивление, получим:
60 - 40 = II(20 + 20) - 20III, 20 = 40II - 20III;
40 = III(20 + 80) - 20II, 40 = 100III - 20II.
Решив эти уравнения относительно контурных токов II и III, получим:
II = 0,78 A, III = 0,56 A.
2. По значениям контурных токов определяем токи в ветвях. Токи во внешних ветвях цепи равны контурным токам (I1 = II, I3 = III), значит I1 = 0,78 A, I3 = 0,56 A, в смежной ветви двух контуров
I2 = III - II = 0,56 - 0,78 = -0,22 A
запишем баланс мощностей (Pи = Pн)
поставим значения величин, получим
Метод узловых напряжений. Этот метод удобен для расчета цепей, содержащих несколько параллельных ветвей, подключенных к двум узлам (рис.1.8). Cуть метода заключается в определении узлов напряжения UAB. Обозначим направления токов в ветвях, потом на основании второго правила Кирхгофа можно записать (не учитывая внутреннего сопротивления источников ЭДС ):
E1 - UAB = I1R1; E2 - UAB = I2R2; -UAB = I3R3.
Выразив сопротивления ветви через проводимости ,запишем формулы для определения токов в ветвях:
I1 = (E1 - UAB)g1; I2 = (E2 - UAB)g2; I3 = -UABg3 (1.20)
Значения E1, E2 и сопротивления ветвей (проводимости) известны по условию задачи. Чтобы определить токи в ветвях цепи, нужно определить узловое напряжение цепи. На основании первого правила Кирхгофа (I1 + I2 + I3 = 0) запишем:
(E1 - UAB)g1 + (E2 - UAB)g2 - UABg3 = 0
Решив это уравнение относительно UAB, получим:
Таким образам, чтобы определить силу токов в ветвях, нужно сначала определить узловое напряжение по формуле (1.21), а потом найти силу токов в ветвях по формуле (1.20).
Задача. Определить силу токов в цепи, схема которой показана на рис. 3.5 с прежним и параметрами методом узлового напряжения.
Решение
1. Определим узловое напряжение UAB по формуле (1.21):
Подставим значения величин параметров цепи, получим:
2. Зная величину узлового напряжения, определим токи в ветвях цепи по формуле (1.20):
I1= (60-44,4)·0,05 = 0,78 А,
I2= (40 – 44,4) ·0,05 = - 0,22 А,
I3 =44,4·0,0125 = 0,56 А.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте закон Ома для участка цепи.
2. Сформулируйте первое правило Кирхгофа, запишите формулу.
3. Сформулируйте второе правило Кирхгофа, запишите формулу.
4. Где применяется правила Кирхгофа?
5. Какое соединение сопротивлений называется последовательным?
6. Приведите примеры последовательного соединения элементов в электрической цепи.
7. Почему нельзя подключать последовательно в цепь приемники разной мощности, рассчитанные на одинаковое напряжение?
8. Сформулируйте три закономерности последовательного соединения сопротивлений.
9. Запишите формулу и дайте их физическое толкование.
10. Какое соединение сопротивлений называется параллельным?
11. Почему все приемники электрической энергии подключаются в сеть параллельно?
12. Что называется проводимостью приемника в сеть?
13. Что называется проводимостью приемника?
14. Сформулируйте три закономерности параллельного соединения сопротивлений. Запишите формулу и дайте их физическое толкование.
15. Почему ночью лампы горят ярче, чем вечером?
16. Какое соединение сопротивлений называется смешанным? Начертите схему цепи со смешанным соединением сопротивлений.